P3574 [POI2014] FAR-FarmCraft 题解

发表于 2022-06-08 更新于 2022-06-20 分类于题解本文字数： 1595 阅读时长 ≈ 4 分钟

题目需要我们从一号节点开始遍历整棵树，并给每一个节点记录下遍历到其的时间。
同时每一个节点又有一个自己的倒计时，当遍历到其的时候就开始计时。
我们需要求出所有节点中倒计时结束最慢的那一个的结束时间，并最小化之。

我们不难想象出一个简单的 DP 式子来求得最终的答案：

对于节点 $u$ 的子树 $v$ ，我们有如下的 DP 式子：

dp [u] = max (dp [u], dp [v] + sz [u] + 1)

其中 $dp [u]$ 代表当前子树中最大的答案；
$sz [u]$ 代表遍历过 $v$ 所在的子树之前已经经过的所有子树的大小之和再乘以 2，这个在遍历完毕整个子树之后会更新为该子树的大小乘以 2。

我们可以发现，我们最终的答案跟遍历子树的顺序有关，于是我们考虑对其进行排序。

对于一个节点 $x$ 的两个子树 $y$ 和 $z$ ，我们假设先遍历 $y$ 再遍历 $z$ 。
这样的话，我们的答案就是 $max (dp [y] + sz [u] + 1, dp [z] + sz [u] + sz [y] + 2 + 1)$ 。
我们假定这个方案比交换两个子树的遍历顺序得到的答案更优。
交换两个子树的遍历顺序之后得到的答案就是 $max (dp [z] + sz [u] + 1, dp [y] + sz [u] + sz [z] + 2 + 1)$ 。

我们最终得到如下式子：

max (dp [y] + sz [u] + 1, dp [z] + sz [u] + sz [y] + 2 + 1) > max (dp [z] + sz [u] + 1, dp [y] + sz [u] + sz [z] + 2 + 1)

我们将不等式左右两边同时约掉 $sz [u] + 1$ ，得到

max (dp [y], dp [z] + sz [y] + 2) > max (dp [z], dp [y] + sz [z] + 2)

因为 $dp [y] < dp [y] + sz [z] + 2$ ， $dp [z] < dp [z] + sz [y] + 2$ ，所以一定是 $dp [y] + sz [z] + 2$ 与 $dp [z] + sz [y] + 2$ 之间的差值导致了答案的变化。

因此，我们可以得到

dp [y] - sz [y] < dp [z] - sz [z]

然后我们就可以按照这样的方法排序了。

参考代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 500010;
template<typename T>
inline T read()
{
    T x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) { if(c == '-')f = -1; c = getchar(); }
    while(isdigit(c))x = x * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
    return x * f;
}
int n;
vector<int>e[N];
int val[N];
int f[N], sz[N];
bool cmp(const int a, const int b)
{
    return sz[a] - f[a] < sz[b] - f[b];
}
void dfs(int p, int fa)
{
    if(p != 1)f[p] = val[p];
    if(e[p].empty())return;
    for(auto i : e[p])
        if(i != fa)dfs(i, p);
    sort(e[p].begin(), e[p].end(), cmp);
    for(auto i : e[p])
    {
        if(i == fa)continue;
        f[p] = max(f[p], f[i] + sz[p] + 1);
        sz[p] += sz[i] + 2;
    }
}
int main()
{
    n = read<int>();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        val[i] = read<int>();
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        int u = read<int>(), v = read<int>();
        e[u].push_back(v);
        e[v].push_back(u);
    }
    dfs(1, 0);
    printf("%d\n", max(f[1], sz[1] + val[1]));
    return 0;
}